γεωμετρία

Η κατά λέξη σημασία του όρου (= μέτρηση της Γης) φανερώνει τις πρώτες αρχές του θεμελιώδους αυτού κλάδου των μαθηματικών. Το περιεχόμενο του όρου στην εξελικτική πορεία του κλάδου μέσα στους αιώνες διευρύνθηκε σε πλάτος και προχωρεί σε όλο και μεγαλύτερη αφαίρεση. Ιστορία. Ένας από τους πρώτους γεωμέτρες ήταν ο Θαλής ο Μιλήσιος (7ος-6ος αι. π.Χ.). Αφετηρία του ήταν πρακτικά προβλήματα, όπως ο καθορισμός του ύψους των πυραμίδων της Αιγύπτου, κάτι που το κατόρθωσε εφαρμόζοντας το ομώνυμο θεώρημά του και μετρώντας το μήκος της σκιάς μιας κατακόρυφης ράβδου και το μήκος της σκιάς των πυραμίδων. Λίγο αργότερα αναπτύχθηκε η πυθαγόρεια σχολή στη Μεγάλη Ελλάδα· οι πυθαγόρειοι θεωρούσαν το σημείο ως κάτι το αδιαίρετο με διάσταση.Από την αντίληψη αυτή πήγαζε ότι κάθε δύο ευθύγραμμα τμήματα είχαν κοινό υποπολλαπλάσιο (ήταν σύμμετρα), δηλαδή ο λόγος τους ήταν ρητός (ειδικότερα ακέραιος) αριθμός. Οι ίδιοι όμως οι πυθαγόρειοι διαπίστωσαν ότι υπάρχουν ευθύγραμμα τμήματα ασύμμετρα. Η αντίφαση αυτή οδήγησε σε πολλές φιλοσοφικές συζητήσεις, με αποτέλεσμα να θεωρείται πια το σημείο ως μια γεωμετρική οντότητα χωρίς διάσταση. Για τους μεταγενέστερους γεωμέτρες η έννοια του αριθμού εξακολουθούσε να φαίνεται μυστηριώδης και στη θέση της έβαζαν την έννοια του μεγέθους και του εμβαδού. Κατά τον 4ο αι. π.Χ. η γ. είχε προχωρήσει τόσο, ώστε ο Πλάτωνας έγραψε στην είσοδο της Ακαδημίας «μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» και στην Πολιτεία του επέμεινε ότι η γνώση της γ. είναι αναγκαία για τη διακυβέρνηση των λαών. Η υψηλή αυτή πλατωνική αντίληψη επέδρασε πολύ στην περαιτέρω ανάπτυξη της ελληνικής γ. κατά τον 3o αι. π.Χ. Η ανάπτυξη αυτή συνδέεται με τα ονόματα του Ευκλείδη, του Αρχιμήδη και του Απολλώνιου του Περγαίου. Παρ’ όλα αυτά, η ανάπτυξη της γ. εμποδίστηκε κατά ένα μέρος τόσο από τεχνικούς περιορισμούς (που οφείλονταν στο ότι δεν γινόταν χρήση της έννοιας του αριθμού, επομένως της αριθμητικής και της άλγεβρας) όσο και από άλλους, όχι λιγότερο σημαντικούς περιορισμούς, οι οποίοι οφείλονταν στην αισθητική των αρχαίων Ελλήνων. Αυτή η αισθητική, για παράδειγμα, τους ώθησε να θεωρήσουν ως τέλειες γραμμές την ευθεία και την περιφέρεια, γεγονός που οδήγησε στην απαίτηση να χρησιμοποιούνται για τις γεωμετρικές κατασκευές μόνο ο κανόνας και ο διαβήτης. Όλα τα προηγούμενα αποτέλεσαν τροχοπέδη για την ανάπτυξη της γ. και προοίμιο για την παρακμή της. Έτσι ακολούθησε μια σκοτεινή περίοδος, η οποία οφειλόταν και σε ιστορικές αιτίες, κατά τη διάρκεια της οποίας η γ. διαδόθηκε στη Δύση, ενώ στις Ινδίες και στην Αραβία αναπτύσσονταν η αριθμητική και η άλγεβρα. Κατά τον 13ο αι. ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι έφερε στη Δύση τις λογιστικές μεθόδους των Ινδών και των Αράβων, ενώ εξακολουθούσε να ενδιαφέρεται για γεωμετρικά προβλήματα. Οι μαθηματικές σπουδές άρχισαν στη Δύση, κατά τον 16ο αι., με ιδιαίτερη έμφαση στην άλγεβρα. Οι σχετικές έρευνες εμφανίζονται στα έργα των Ιταλών Νικολό Ταρτάλια, Τζερόλαμο Καρντάνο κ.ά. Τα αποτελέσματα αυτά άνοιξαν τον δρόμο προς την αναλυτική γ., την οποία θεμελίωσαν ο Πιερ ντε Φερμά και ο Ρενέ Ντεκάρ (Καρτέσιος). Ο τελευταίος δημοσίευσε το 1637 το έργο του Γεωμετρία ως συμπλήρωμα στον περί μεθόδου λόγον, για να υποστηρίξει ότι η πιο κατάλληλη μέθοδος για τη μελέτη γεωμετρικών προβλημάτων είναι η αλγεβρική. Όλη αυτή η προεργασία υπήρξε καθοριστική για την ανάπτυξη της γ. στους επόμενους αιώνες. Κατά τον 18ο αι. αναπτύχθηκε ο απειροστικός λογισμός με αφετηρία κατά ένα μέρος προβλήματα γεωμετρικά, όπως εκείνα του ορισμού της εφαπτομένης μιας καμπύλης, του εμβαδού κ.ά. Στα προβλήματα αυτά γινόταν χρήση συντεταγμένων, δηλαδή αναλυτικής γ. Με τη βοήθεια του απειροστικού λογισμού η γ. εμπλουτίστηκε με νέα συμπεράσματα. Για παράδειγμα, η μελέτη των επίπεδων κυβικών οφείλεται στον Νεύτωνα. Στην περίοδο αυτή η γ. κατευθυνόταν κατά κάποιον τρόπο από την αριθμητική, την άλγεβρα και την ανάλυση, χωρίς να έχει ανεξάρτητη υπόσταση και αυτοτέλεια. Στον 19o αι., σημειώθηκε νέα ανάπτυξη προς διάφορες κατευθύνσεις. Δημιουργήθηκε η προβολική γ., που οι αρχές της ανάγονται στον Πάππο, ενώ πλησιέστεροι πρόδρομοί της υπήρξαν οι Ντεζάργκ και Πασκάλ. Με τη δημιουργία της προβολικής γ. συνδέονται τα ονόματα των Μονζ, Πονσελέ, Σασλ, Στάινερ, Πλούκερ, Στάουντ κ.ά. Προς αυτή την κατεύθυνση, που περιοριζόταν στην προβολική γ. του επιπέδου και του χώρου, σημαντική πρόοδος έγινε και στη γ. των χώρων με μεγαλύτερη διάσταση· η πρόοδος αυτή συνδέεται με τα ονόματα των Γκράσμαν, Γιακόμπι, Κέιλεϊ και Σιλβέστερ. Οι Γκάους και Ρίμαν ασχολήθηκαν παράλληλα με τη διαφορική γ. Εκτός από αυτές τις έρευνες αναπτύχθηκαν και άλλες με κατεύθυνση κάπως επαναστατική. Οι έρευνες αυτές συνδέονται με τις λεγόμενες μη ευκλείδειεςγ. Η αφετηρία γι’ αυτές τις έρευνες έγινε με αφορμή ένα έργο που δημοσίευσε ο Σακέρι το 1773, όπου γινόταν μία προσπάθεια απόδειξης του αιτήματος του Ευκλείδη για τις παράλληλες ευθείες. Ο Σακέρι χρησιμοποιούσε τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής με την προσδοκία να φτάσει σε μία λογική αντίφαση. Έτσι κατόρθωσε να αποδείξει τα πρώτα θεωρήματα της μη ευκλείδειας γ., αλλά η αντίφαση στην οποία έφτασε οφειλόταν σε ένα σφάλμα του. Η άρνηση του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη (του σχετικού με τις παράλληλες ευθείες) συμβιβάζεται με τα υπόλοιπα και δίνει τρόπο να κατασκευαστούν γ., που γι’ αυτό τον λόγο ονομάζονται μη ευκλείδειες. Μια συστηματική διαπραγμάτευση των μη ευκλείδειων γ. οφείλεται στους Λομπατσέφσκι και Μπολιέ. Ο Γκάους, αν και γνώριζε τη δυνατότητα ύπαρξης μη ευκλείδειων γ., δεν δημοσίευσε κάτι σχετικό. Μια σύγχρονη γενίκευση της αναλυτικής γ. συνίσταται στο ότι οι συντεταγμένες του σημείου του χώρου, στον οποίο η γ. αναπτύσσεται, ανήκουν σε συστήματα γενικότερα από εκείνα των πραγματικών ή των μιγαδικών αριθμών. Από την άποψη αυτή οι αλγεβρικές ιδιότητες του συστήματος αντανακλώνται σε γεωμετρικές ιδιότητες του χώρου και αντίστροφα. Γεννιέται έτσι μια πιο βαθιά σύνδεση μεταξύ της άλγεβρας και της γ., που επιτρέπει εκτός των άλλων τη βαθύτερη εξέταση των θεμελίων της γ. Μια άλλη μοντέρνα κατεύθυνση της γ. αφορά την τοπολογικο-διαφορική σπουδή των διαφορικών ποικιλιών, δηλαδή των ειδικών εκείνων τοπολογικών χώρων (τοπικώς ευκλείδειων, δηλαδή χώρων που βρίσκονται σε αμφιμονοσήμαντη και αμφισυνεχή απεικόνιση με έναν ν-διάστατο ευκλείδειο χώρο) που συνδέονται με διαφορικούς μετασχηματισμούς. Αυτή η κατεύθυνση οδηγεί στη σύγχρονη σπουδή των αλγεβρικών ποικιλιών, των ποικιλιών του Ρίμαν (δηλαδή ποικιλιών με κάποια μετρική) και, τέλος, στη σπουδή της θεωρίας της σχετικότητας. Πραγματικά ο φυσικός κόσμος για τη σχετικότητα μπορεί να θεωρηθεί ως μια διαφορική τετραδιάστατη ποικιλία, η οποία έχει εφοδιαστεί με μια μετρική που περιγράφει τις φυσικές ιδιότητες του σύμπαντος. διαφορική γ. Κλάδος της γ. που εξετάζει μαθηματικές οντότητες, ο ορισμός των οποίων πραγματοποιείται με αναδρομή σε παραγώγους και διαφορικά. Συγκεκριμένα, μελετά καμπύλες, όπως οι γεωδαισιακές γραμμές μιας επιφάνειας, οι τανυστές καμπύλωσης χώρων του Ρίμαν, οι στρεβλοί κύκλοι και πολλές άλλες ειδικές καμπύλες. Η διαφορική γ. εμφανίστηκε τον 18ο αι. ως αποτέλεσμα των εργασιών του Λ. Όιλερ, του Γ. Μονζ και άλλων, και πήρε την ονομασία της από τη μέθοδό της που βασίζεται στον διαφορικό λογισμό. γεωμετρικός τόπος (γ.τ.). Το σύνολο των σημείων του επιπέδου ή του χώρου, που ικανοποιούν ορισμένες (γεωμετρικές) συνθήκες. Στο επίπεδο, αν οι δεδομένες συνθήκες, οι οποίες μεταφράζονται αναλυτικά με τη χρήση συντεταγμένων, οδηγούν σε μία αναλυτική συνθήκη μεταξύ των συντεταγμένων του μεταβλητού σημείου, ο γ.τ. είναι μια καμπύλη του επιπέδου. Στον χώρο, αν με τον ίδιο τρόπο (όπως και στο επίπεδο) φτάνουμε σε μία ή δύο αναλυτικές συνθήκες μεταξύ των συντεταγμένων του μεταβλητού σημείου, τότε ο γ.τ. είναι μία επιφάνεια ή μία καμπύλη. Πιο συγκεκριμένα, σε ένα πρόβλημα γ.τ. στο επίπεδο παίρνουμε ένα σύστημα ορθογώνιων αξόνων χΟy (καρτεσιανές συντεταγμένες) και εκφράζουμε αναλυτικά τις συνθήκες στις οποίες βρίσκεται, από το πρόβλημα, το σημείο (χ,y) του οποίου ζητείται ο γ.τ. Συνήθως στην πορεία αυτή υπεισέρχονται παράμετροι. Αν οι παράμετροι αυτές είναι, έστω ν, τότε προκύπτουν κατά τη μετάφραση σε αναλυτική γλώσσα των συνθηκών ν + 1 εξισώσεις, ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η απαλοιφή των ν παραμέτρων μεταξύ των ν + 1 εξισώσεων δίνει μία εξίσωση, που συνδέει τις συντεταγμένες χ,y του σημείου (χ,y)· η εξίσωση αυτή είναι η εξίσωση του ζητούμενου γ.τ. Αντί για καρτεσιανές συντεταγμένες μπορεί να χρησιμοποιήσουμε και άλλες, για παράδειγμα, πολικές συντεταγμένες, ρ,θ. Όταν, με τον προηγούμενο τρόπο, καταλήξουμε στην εξίσωση του ζητούμενου τρόπου σε πολικές συντεταγμένες, τότε μπορούμε να μεταβούμε σε καρτεσιανές x,y με τη βοήθεια των τύπων: x = ρσυνθ, y = ρημθ. Πολλές φορές, όταν φτάσουμε σε μια παράμετρο έστω t, κατά την αναζήτηση του γ.τ., όπως προηγουμένως εκθέσαμε, δεν προχωρούμε στην απαλοιφή της παραμέτρου t (είτε γιατί δεν είναι πραγματοποιήσιμη είτε γιατί είναι ασύμφορη)· φτάνουμε έτσι στις λεγόμενες παραμετρικές εξισώσεις του τόπου, π.χ.: x = f(t), y = g(t). Παράδειγμα: έστω η περιφέρεια κύκλου με εξίσωση x² + y² = 1 (ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες) και τυχόν σημείο Μ αυτής της περιφέρειας. Θεωρούμε την περιφέρεια με κέντρο το Μ, που εφάπτεται στον άξονα x’x. Έστω Ρ η τομή του ριζικού άξονα των δύο περιφερειών (δηλαδή της ευθείας των κοινών τους σημείων) με την από το Μ κάθετο προς τον άξονα x’x. Ζητείται ο γ.τ. του σημείου Ρ, όταν το σημείο Μ διαγράφει την αρχική περιφέρεια. Έστω Μ = (α, β)· τότε η περιφέρεια με κέντρο το σημείο (α, β), που εφάπτεται στον άξονα x’x έχει την εξίσωση: x² + ψ² – 2αx – 2βψ + α² = 0 και ο ριζικός άξονας των δύο περιφερειών έχει την εξίσωση: 2αx + 2βy – α² – 1 = 0. Η τομή της ευθείας αυτής και της ευθείας x = α είναι το σημείο Ρ, ενώ οι παράμετροι α, β συνδέονται με τη σχέση α² + β² = 1. Οι συνθήκες του προβλήματος μεταφράζονται ως εξής: x = α, 2αx + 2βy – α² – 1 = 0, α² + β² = 1. Η απαλοιφή των παραμέτρων α, β μεταξύ των τριών παραπάνω εξισώσεων οδηγεί στην εξίσωση: (χ² – 1) (x² + 4y² – 1) = 0, η οποία είναι η εξίσωση του ζητούμενου γ.τ. σε καρτεσιανές συντεταγμένες. «Η γεωμετρία», αλληγορική μορφή από τον τάφο του πάπα Σίξτου Δ’, έργο του Αντόνιο Πολαϊόλο. Η επανάληψη των μαθηματικών σπουδών από τον 16o αι. οδήγησε σε νέα άνθηση της γεωμετρίας, η οποία είχε παραμεληθεί κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα (Πόλη του Βατικανού, Ρώμη· φωτ. Igda). ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ

* * *

η (AM γεωμετρία) [γεωμέτρης]

ειδική επιστήμη, κλάδος τών μαθηματικών, που έχει ως αντικείμενο την ακριβή μελέτη τού χώρου και τών διαφόρων μορφών (σχημάτων και σωμάτων) που είναι νοητές μέσα σ' αυτόν

νεοελλ.

εγχειρίδιο ή σύγγραμμα που πραγματεύεται θέματα γεωμετρίας

αρχ.

1. η μέτρηση ή καταμέτρηση τής γης

2. καταμέτρηση αγρών ή οικοπέδων

3. φόρος έγγειας ιδιοκτησίας.